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Martedì 19 ottobre. Continuiamo ad esplorare il mondo di Iplozero, avventurandoci nella scoperta delle forme geometriche. Oggi abbiamo provato a costruire delle lancette che dividessero un ipotetico cerchio in dodici parti uguali… per dirla nel linguaggio scolastico delle frazioni: una torta divisa in 12 fette!

Per prima cosa abbiamo costruito una lancetta, che fondamentalmente non è altro se non un bastoncino, un segmento verticale di misura definita.

PER LANCETTA

A 250

INDIETRO 250

FINE

In questo modo otteniamo la nostra stanghetta, la quale può essere abbellita aggiungendo all’estremità superiore un piccolo cerchio, o un triangolino o una qualsiasi figura geometrica che ci sembra possa richiamare le tipiche lancette decorate dei Cucù. la figura più semplice da creare è il cerchio, per cui nel foglio di iplozero dovremo scrivere:

PER LANCETTA

A 250

CERCHIO 50

INDIETRO 250

FINE

Adesso siamo pronti per realizzare l’orologio che, come abbiamo già detto, non è altro che la divisione di un cerchio in dodici parti uguali. Il primo passaggio da fare, prima di dare i comandi e di riflettere su cosa questa affermazioni significhi. In primo luogo un cerchio è un angolo giro di 360°; per sapere di quanti gradi sarà l’angolo compreso tra due lancette, sarà necessario allora dividere 360° per 12 (ottenendo 30°). A questo punto per disegnare le dodici lancette, dobbiamo pesare che la nostra prima lancetta, che è nella posizione delle dodici (cioè di Mezzogiorno) debba essere ripetuta 12 volte, e ogni volta aumentando l’inclinazione di 30°. Per cui i comandi che inseriremo saranno:

PER OROLOGIO

RIPETI 12  [LANCETTA D 30]

FINE

Come già accaduto per il rosone, dopo aver seguito questi pochi passai, è possibile proseguire in autonomia, lasciando libero sfogo alla nostra creatività. Inoltre l’orologio potrebbe essere reso anche funzionante, il tutto dipende dal livello di astrazione e di conoscenza posseduti dalla persona e dall’obiettivo dell’attività proposta.

Riporto due esempi di quello che avevo provato a sperimentare a lezione!

Iplozero e i colori

I colori sono uno degli aspetti, come accennato anche nell’articolo precedente, che è in grado, con un semplice tocco, di cambiare completamente faccia alle nostre produzioni. Immaginare un lavoro creativo senza la possibilità di giocare con sfumature e colori, è un po’ come pensare ad un mondo tutto in bianco e nero. Ma come funzionano i colori?

Iplozero ci consente di scegliere tra ben 16 000 000 colori. Ogni colore è definito da una sua specifica carta di identità che è costituita da tre parametri, espressi numericamente, che indicano rispettivamente: la quantità di rosso, la quantità di verde e la quantità di blu necessari per ottenere quella determinata gradazione. Per ciascun colore la quantità è compresa tra 0 e 255, dove zero equivale all’assenza di quel colore e 255 al colore puro. Tutti i parametri intermedi determinano gradazioni a loro volta intermedie.

Per cui per inserire il rosso dovremo immettere i seguenti parametri [255 0 0]; per il verde [0 255 0], mentre per il blu [0 0 255].

Se per esempio vogliamo ottenere il giallo i valori da digitare saranno: [255 255 0]. La formula [0 0 0], invece, è quella che esprime il colore nero, mentre la scritta [255 255 255] identifica il bianco.

Adesso ci si può sbizzarrire a trovare il proprio “colore del cuore”!

Martedì 12 ottobre. Ritorniamo a Iplozero e all’insieme di mondi che esso nasconde.

Come accennato precedentemente, il linguaggio Iplozero nasce dal progetto Logo, il quale a sua volta viene messo a punto negli anni ’60 del secolo scorso, negli Stati uniti. per meglio comprendere la portata di questo progetto dobbiamo considerare il clima culturale nel quale esso prende forma e vita. Negli anni ’60, negli usa si contrapponevano due correnti psicologiche: da una parte il pensiero di Skinner e dei suoi sostenitori, dall’altra le idee di Piajet. La teoria di Skinner sul Condizionamento Operante e del rinforzo positivo, afferma che, con il programma opportuno, si può insegnare qualsiasi cosa a chiunque . Questa idea è alla base di quella che viene definita Istruzione programmata e delle Macchine per insegnare. Conseguenze queste che hanno portato alla risposta dei piajetiani che rimarcano come alcune conoscenze non possano semplicemente essere travasate nelle menti, ma debbano essere strutturate nel soggetto che apprende. Il progetto di Papert, muovendo da questa concezione, si propone allora di “insegnare ai bambini non la matematica, ma a diventare essi stessi matematici”. Questo significa affermare che è importante sviluppare non tanto dei contenuti, quanto la curiosità e la comprensione profonda. Ad esempio secondo il metodo di impostazione piajetiana non è tanto importante insegnare le tabelline, quanto portare alla scoperta della moltiplicazione, di cui poi le tabelline sono una conseguenza naturale. Le teorie degli anni ’80 rimarcano come l’apprendimento vero deve essere consapevole e questo valorizza il linguaggio Logo, in quanto strumento per costruire consapevolmente le conoscenze. Inoltre tale linguaggio consente la valorizzazione dell’errore, che consiste nell’avvicinarsi alla verità, come fanno anche gli scienziati. Il fatto di sbagliare fa parte della conoscenza scientifica.

Dopo aver ripreso alcuni concetti teorici indispensabili per poter comprendere la logica sottesa al mondo di Iplozero è giunta l’ora di avventurarsi nel suo universo e di provare a sperimentarne le funzioni e le potenzialità. Uno degli esercizi che si può iniziare a sperimentare è la costruzione di un “rosone”. Una figura geometrica, che richiama anche alle vetrate gotiche e a molte delle composizioni geometriche che possiamo ammirare su alcune delle nostre chiese e cattedrali. L’idea è quella di creare una figura complessa a partire dalla rotazione di un quadrato intorno ad un suo vertice. Prima di costruire il quadrato inserendo i comandi, è bene sperimentare con il proprio corpo quello che è il funzionamento dell’automa tarta, in modo da comprendere quali passaggi è necessario seguire e da quale punto di vista dobbiamo considerare lo spostamento del cursore tarta sul monitor. Ad esempio per costruire un quadrato  una persona deve andare ad esempio in avanti di due passi, voltarsi di 90° sulla sua destra, andare avanti ancora di due passi, voltarsi di 90° a destra, andare avanti ancora di due passi, voltarsi a destra di 90°, andare avanti di due passi e, essendosi ricongiunto al punto di partenza, voltarsi nuovamente a destra di 90° per riassumere la posizione frontale iniziale.

Tradotto nel linguaggio iplozero i comandi sono diventati:

TAX 4

AVANTI 200

D 90

AVANTI 200

D 90

AVANTI 200

D 90

AVANTI 200

D 90

Per evitare di dover ripetere ogni volta che vogliamo far disegnare al nostro automa tarta un quadrato possiamo scrivere i passaggi precedenti come:

RIPETI 4 [AVANTI 200 D 90]

oppure possiamo tradurre la sequenza di comandi in una procedura, ossia possiamo insegnare all’automa tarta (che coincide con il nostro triangolino al centro del foglio bianco) che per ogni volta che gli diamo il comando qua (che sta per quadrato) lui deve muoversi per quattro volte avanti di 200 passi e ruotarsi sulla destra di 90°, che tradotto si scrive:

PER QUA

RIPETI 4 [AVANTI 200 D 90]

FINE

Questa è una procedura che abbiamo insegnato al nostro automa!

Da qui possiamo insegnare un’altra procedura per cui alla parola rosone l’automa ripeta ad esempio per dodici volte un quadrato ruotandolo ogni volta di 90°:

PER ROSONE

RIPETI 12 [QUA D 90]

FINE

Giocando poi con i colori e modificando il numero di volte per cui si vuole riprodurre il quadrato o l’inclinazione con cui ruotarlo, è possibile ottenere degli effetti differenti e giungere a realizzare disegni geometrici anche molto complessi, ma ad effetto!

Riporto qui di seguito un esempio:

Accendiamo i motori!

Martedì 4 ottobre. Rieccoci, pronti alla griglia di partenza per affrontare una nuova sfida. La sfida di quest’anno ci porterà ad indagare le abilità di risoluzione di problemi. Queste ultime, come ben possiamo comprendere, non sono utili solo in campo matematico, ma forniscono un apporto indispensabile per affrontare la vita di tutti i giorni: selezionare le informazioni, metterle in connessione logica, predisporre un’ipotesi risolutiva, testarla, comparare i risultati finali con l’ipotesi di partenza, sono tutte abilità che ci vengono richieste anche al di fuori della matematica. Uno degli strumenti ce ci accompagnerà in questo viaggio sarà il “fantastico mondo di Iplozero“. Tra le idee potenti che stanno alla base di questa applicazione troviamo, innanzitutto, il concetto di automa. Questo termine, nato nel 1700, rinvia, in accezione negativa, all’idea di organismo senza vita. Solo a partire dall’800 questa sua accezione viene rivalutata. Automa è un esecutore fedele di comandi ben dati.

Ma quale nesso c’è tra l’automa e Iperlogo?

Iperlogo nasce dal progetto Logo, risalente al 1968/69 e messo a punto negli USA, dal matematico sudamericano Symur Papert che ha introdotto questo concetto di automa nella didattica per bambini. Egli ha rivalutato il potenziale degli automi (poter eseguire chilometri di ordini e poter fare moltissime produzioni utilizzando soltanto pochi ordini ripetuti) per mettere a punto uno strumento nel quale, un po’ come accade negli odierni giochi di ruolo, chi “gioca” possa “insegnare” all’automa Tarta, protagonista digitale. In tale modo il bambino, che dirige come un burattinaio la marionetta Tarta, affronta un percorso che gli “insegna” come si impara.

Rieccoci all’inizio di un nuovo percorso di crescita professionale ed umana. Si riaprono le porte dell’università e si ricomincia a lavorare per costruire la propria professione docente. Anche quest’anno il blog accompagnerà il corso di Didattica della Matematica. L’invito per quest’anno è quello di scoprire, e in alcuni aspetti approfondire, “una matematica diversa”, fatta di “automi” e di giochi “informatici”, anziché di quaderni e di regole astratte.

Non mi resta nient’altro che inaugurare ufficialmente l’inizio di questo viaggio che spero possa portare noi future insegnanti ad avere maggiore consapevolezza delle potenzialità e delle tecniche di trasmissione delle conoscenze matematiche, per rendere l’apprendimento di questa disciplina piacevole e giocoso a tutti gli alunni.

L’AVATAR

All’inizio di questo percorso avevo inserito tra i link, dove tutt’ora potete trovarlo, un collegamento al sito builyourwildeself… Il sito consente di creare un Avatar personalizzandolo con parti di animali. L’esperimento di provare a creare un Avatar personale è un invito che rivolgo a chiunque. Ci vogliono pochi minuti è il risultato è davvero molto carino! Ne volete una dimostrazione? Beh, vi mostro allora il mio alter-ego, che ho creato alcune settimane fà e che credo mi possa rappresentare anche in questo blog:

Beh, che ne dite?!?

Insomma, la creazione di un Avatar può essere una proposta affascinante anche per i bambini, facendoli lavorare sul Sè e su come loro vedono se stessi… Inoltre il sito è legato all’acquario e allo zoo di New York, per cui può essere un’occasione per visitare virtualmente questi luoghi. Il fatto che il sito sia in lingua inglese, può ulteriormente stimolare i bambini sia a scoprire il sito che ad apprendere la lingua! Infine, un altro particolare legato alla creazione dell’avatar con questo link, riguarda la carta di identità che, al termine della creazione, compare: non è una abituale ID, ma è una descrizione della nostra personalità sulla base delle scelte che abbiamo effettuato per creare il nostro alter ego. Sulla base, infatti, delle parti di animali che abbiamo deciso di adottare per completare il nostro “io virtuale”, possiamo leggere a quali caratteristiche caratteriali abbiamo naturalmente teso, tipiche degli animali a cui appartengono questi particolari.

Ma da dove arriva e che cos’è un Avatar?

L’avatar è un’immagine scelta per rappresentare la propria utenza in comunità virtuali, luoghi di aggregazione, discussione, o di gioco on-line. La parola, che è in lingua sanscrita, è originaria della tradizione induista, nella quale ha il significato di incarnazione, di assunzione di un corpo fisico da parte di un dio (Avatar: “Colui che discende”): per traslazione metaforica, nel gergo di internet designa una persona reale che sceglie di mostrarsi agli altri attraverso una propria rappresentazione, un’incarnazione: un avatar appunto.

Tale immagine, che può variare per tema e per grandezza (di solito stabilite preventivamente dai regolamenti delle comunità virtuali), può raffigurare un personaggio di fantasia (ad es. un cartone animato, un fumetto), della realtà (ad es. il proprio cantante o attore preferito, o anche la propria immagine), o anche temi più vari, come vignette comiche, testi, ed altro.

La curva di Koch

Nel 1904, il matematico svedese Helge van Koch creò una curva che cambiava così tante volte direzione che un viaggiatore che si fosse improvvisamente trovato in un suo punto non avrebbe saputo in quale direzione muoversi. La curva di Koch, o a fiocco di neve, inizia come perimetro di un triangolo equilatero.

1° passo: Triangolo equilatero di partenza

Inserendo al centro di ciascun lato un nuovo triangolo equilatero di lato pari ad 1/3 del lato di quello precedente, la figura diventa così una stella a sei punte.

2° passo

Il perimetro della stella è costituito da 12 segmenti e ha una lunghezza pari a 4/3 rispetto a quella del triangolo di partenza. Il passo successivo consiste nell’aggiungere altri 12 triangoli più piccoli nel centro del lato di ogni stella.

3° passo

Continuando il processo mediante l’inserimento di triangoli sempre più piccoli, si ottiene il fiocco di neve di Koch.

4° passo

Si suppone che, al primo stadio della sua costruzione, la curva a fiocco di neve abbia lato 1 centimetro. Con una risoluzione di 1 centimetro, la curva appare come un triangolo composto da 3 segmenti di retta; le pieghe più piccole non sono visibili. Se la risoluzione passa ad 1/3 di centimetro, i segmenti sono 12, ciascuno lungo 1/3 di centimetro. Ogni volta che l’unità di misura viene ridotta a 1/3, il numero di segmenti visibili aumenta di 4 volte. Un comportamento così strano ha portato i matematici di inizio Novecento a definire questa ed altre curve come mostruosità matematiche.

Il fiocco di neve di Koch è dunque una particolare curva frattale costruita, come abbiamo visto, sui lati di un triangolo equilatero. Il punto di partenza per la sua costruzione è però il merletto di Koch, che il matematico introdusse in un articolo pubblicato nel 1904. Vediamo come viene costruito facendo uso unicamente di tecniche di geometria elementare.

1. Si parte da un segmento

2. lo si divide in 3 parti uguali e si costruisce un triangolo equilatero di lato pari ad 1/3 della lunghezza del segmento, poggiato sul segmento originale

3. considerate poi i 4 segmenti ottenuti e ripetete il procedimento descritto sopra per ognuno dei segmenti ottenuti.

4. adesso ripetiamo il punto due per ciascuno dei 12 segmenti ottenuti5. è possibile proseguire nella costruzione di triangoli equilateri sui segmenti che via via si continuano ad ottenere

 

 

 

 

 

Le caratteristiche di questa composizione geometrica sono:

1. Autosimilitudine:

Come si osserva dalla figura, la curva ha la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza.

Due poligoni sono simili se e solo se hanno gli angoli uguali e i lati in proporzione. I frattali, rispetto alle figure della geometria classica, hanno la caratteristica peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte, riproduciamo in scala la stessa figura di partenza, oppure ritroviamo, in scala, caratteristiche strutturali simili. La struttura che osserviamo in scala normale viene ripetuta infinite volte all’interno della scala più piccola, e la possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d’ingrandimento che usiamo. Questo fatto ci permette di riprodurre un frattale, anche di forma complessa, con poche e semplici istruzioni da ripetersi più volte.

2. Perimetro infinito:

Ad ogni passo il perimetro diventa 4/3 di quello del passo precedente, visto che ogni segmento viene sostituito con una spezzata formata da 4 segmenti ognuno lungo 1/3 del segmento stesso.
Al tendere dei passi all’infinito anche il perimetro tende ad infinito, infatti, questa costruzione potrebbe continuare con una successione infinita di passaggi; questi ci sembrano finiti solo perché il nostro occhio e gli strumenti di misura di cui disponiamo quotidianamente non ci consentono di procedere nel lavoro su misure micro.

3. Area finita:

Il contorno del frattale, pur avendo lunghezza infinita,  racchiude un’area limitata.